Aklı yerinden oynatan paradokslar!

Sokrates’in, “Tek bildiğim, hiçbir şey bilmediğimdir,” diye meşhur bir sözü vardır.

Batı felsefesinin temellerini oluşturan bir isimden gelen, kritik bir kavrayış bu: Bildiğinizi sandığınız her şeyi sorgulamalısınız.

Esasen, daha yakından baktıkça etrafınızın paradokslarla çevrili olduğunu fark edebilirsiniz.

Herhangi bir yere gitmek için önce yolun yarısını aşmanız gerekir. Sonra geri kalan mesafenin yarısını, sonra onun da yarısını kat etmek gerekir ve bu böyle sonsuza dek gider. Dolayısıyla hareket imkânsızdır.

Dikotomi Paradoksu, Antik Yunan döneminde yaşamış felsefeci Zenon’a atfedilir ve (Zenon’un hocası Parmenides’in öne sürdüğü şekilde) evrenin tekilliğine ve hareket dahil olmak üzere değişimin olanaksız oluşuna dair bir kanıt olarak formüle edildiği düşünülür.

İnsanlar bu paradoksu yıllar boyu görü temelinde reddetmişlerdir.

Matematiksel açıdan, (19. yüzyılda oluşturulan) çözüm, yarım artı çeyrek artı sekizde bir artı on altıda bir… diye devam eden serinin toplamının bir ettiğini kabul etmek olur. Bu da 0,999… sayısının 1’e eşit olduğunu söylemeye benzer.

Ancak bu teorik çözüm bir nesnenin hedef noktaya nasıl varabildiğini açıklamıyor aslında. Madde, zaman ve uzayın sonsuz derecede bölünebilir olmayışı üzerinde duran 20. yüzyıl teorilerine bakılırsa, sorunun çözümü hâlâ karanlıkta kalıyor ve daha da karmaşık gözüküyor.

Herhangi bir anda, hareketli bir nesne hareketsiz bir nesneden ayırt edilemez: Dolayısıyla, hareket imkânsızdır.  

 Buna Ok Paradoksu deniliyor ve Zenon’un harekete karşı argümanlarından biri. Buradaki mesele, bir anda hiç saniye geçmemesi ve dolayısıyla hiç hareket gerçekleşmemesi. Zenon’un argümanına göre, şayet zaman anlardan oluşuyorsa, hareketin belirli bir anda gerçekleşmiyor olması hareketin olmadığı anlamına gelir.

Dikotomi Paradoksu gibi Ok Paradoksu da Kuantum mekaniğine dair modern yaklaşımlara götürüyor bizi. Kevin Brown, “Görelilik Üzerine Düşünceler” adlı kitabında,  özel görelilik bağlamında, hareket halindeki bir nesnenin hareketsiz haldeki nesneden farklı olduğunu belirtir. Görelilik açısından düşünüldüğünde, farklı hızlarda hareket eden nesneler gözlemcilere farklı gözükecek ve etraflarındaki dünyaya dair algıları da farklı olacaktır.

Bir gemiyi oluşturan tüm tahta parçalarını değiştirseniz gemi yine aynı gemi olur mu?

Antik Yunan’dan gelen bir diğer klasik olan Theseus’un Gemisi Paradoksu özdeşlik çelişkilerini konu alıyor. Plutarkhos’un buna ilişkin meşhur anlatımı şöyle:

“Theseus’la birlikte Girit’ten dönen genç Atinalıları taşıyan gemide 30 kürek vardı ve Atinalılar gemiyi Demetrius Phalereus’un dönemine kadar bile muhafaza ettiler. Çürüyen tahtaları çıkarıp yerlerine yeni ve daha güçlü tahtalar koydular. Bu gemi felsefeciler arasında, büyüyen şeylere ilişkin mantık sorusunun başlıca örneklerinden oldu. Bir görüşe göre gemi aynı kalmış, diğerine göre ise aynı kalmamıştır.”

 Sonsuz uzunluğa sahip bir “boru”nun sınırlı bir hacmi ve sonsuz yüzey alanı var.

  1. yüzyılda ortaya atılmış bu problem, sonsuzluk ve geometriye dair çok sayıdaki paradokstan biri.

Boru, y = 1/x eğrisi yatay eksende döndürülerek meydana geliyor. Böyle oluşan şekillerin alan ve hacimlerini hesaplamayı sağlayan cebir tekniklerine başvurarak, sonsuz uzunluktaki borunun aslında π’ye karşılık gelen sınırlı bir hacme, ancak sonsuz yüzey alanına sahip olduğu görülebiliyor.

Mathworld’deki yazıya göre, borunun sınırlı miktarda boya taşıyabileceği ancak tüm yüzeyini kaplamak için sonsuz miktarda boya gerekeceği anlamına geliyor bu.

 Heterolojik bir sözcük, kendisini tanımlamayan bir sözcüktür. Peki “Heterolojik” sözcüğü kendisini tanımlıyor mu?

 Modern matematikçi ve mantıkçıların uykularını kaçıran çok sayıdaki öz referanslı paradokstan biri bu.

Heterolojik sözcüklere bir örnek, kendisi bir fiil olmayan “fiil” sözcüğüdür (oysa “isim” sözcüğünün kendisi de isimdir).

Peki “heterolojik” sözcüğü heterolojik bir sözcük mü? Kendisini tanımlayan bir sözcük olmazsa kendisini tanımlar olur; kendisini tanımladığı takdirde ise kendisini tanımlar olmaktan çıkar.

Kendisini içermeyen şeyler kümesi kendisini içerir mi diye soran Russell Paradoksu’yla da ilişkilidir bu. Bertrand Russell gibi isimler böyle kendisini baltalayan kümeler yoluyla, küme oluştururken dikkatli kurallar tesis edilmesinin önemini ortaya koydular ve bu da 20. yüzyıl matematiğinin temellerinden oldu.

Psikolojik durumu uygun olmayan pilotlar savaştan uzaklaşabilir, ancak savaştan uzaklaşmaya çalışan biri aklının başında olduğunu kanıtlamış olur. 

Joseph Heller’ın yazdığı hicivli II. Dünya Savaşı romanının adı da olan Madde 22, insanın, yalnızca ihtiyaç duymadığı takdirde kavuşabileceği bir şeye ihtiyaç duyduğu durumu ifade eder. Bu da kendisine göndermeli paradokslardan.

Romanın kahramanı Yossarian, pilot değerlendirmesi üzerinden paradoksla karşı karşıya kalır ve her baktığı yerde paradoksal (ve ezici) kurallar görür hale gelir nihayetinde.

Her sayının ilginç bir yönü vardır.

1, 0’dan sonraki ilk doğal sayı; 2 en küçük asal sayı; 3 ilk tek asal sayı ya da 4 en küçük bileşik sayı. Bu şekilde ilerleyip, ilginç bir yönü yokmuş gibi gözüken bir sayıya ulaştığınızda o da, değişik bir yanı bulunmayan ilk sayı olmak gibi bir ilginçliğe sahip oluyor.

İlginç Sayı Paradoksu, “ilginç” tanımının net olmayışından doğuyor ve Heteroloji Paradoksu gibi, çelişkili öz referanslardan doğan kimi paradoksların absürd bir versiyonunu oluşturuyor bir nevi.   Kuantum hesaplamaları üzerine çalışan araştırmacı Nathaniel Johnston bu paradoksa yönelik akıllıca bir çözümleme geliştirdi: Paradoksun ilk halindeki, sezgi temelli “ilginçlik” kavramı kabul etmek  yerine, ilginç tam sayı için; asal sayılar, Fibonacci sayıları ve Pisagor üçlüleri gibi on binlerce matematik serisini bir araya toplayan Tam Sayı Dizileri İnternet Ansiklopedisi’nde yer almak gibi bir tanım getirme yoluna gitti.

Johnston’ın 2009 Haziran’da yayımladığı bir blog yazısında yer alan bu tanıma göre öyle herhangi bir seride belirmemiş en küçük tam sayı 11.630 oluyordu. Ansiklopediye sürekli, daha önce ilginç olmayan sayıları da içeren yeni seriler ekleniyor. Johnston’ın Kasım 2013’te yaptığı güncellemeye göre ilginç olmayan en küçük sayı şimdilik 14.228.

Bir barda, o bir şeyler içerken herkesin de bir şeyler içtiği en az bir müşteri vardır daima. 

Formel mantıktaki koşullu ifadelerin mantık dışı yorumları oluyor bazen. İçme Paradoksu da buna çok iyi bir örnek.

Paradoks, bir kişinin mekândaki diğer kişilerin bir şeyler içmesine yol açtığına işaret ediyor ilk bakışta.

Aslında tüm söylenen, her müşteri bir şey içiyor olmadıkça mekândaki herkesin bir şey içiyor olamayacağı. Dolayısıyla oradaki en az bir müşterinin (yani bir şeyler içmeyen son kişinin) bir şey içmesiyle birlikte mekândaki herkes bir şey içer halde olur.

Sınırlı sayıda parçaya bölünebilen bir topun parçaları bir araya getirilerek aynı ebatta iki top elde edilebilir. 

 Banach-Tarski Paradoksu sonsuz kümeler ile geometrik rotasyonların tuhaf ve görü ötesi kimi özelliklerine dayanıyor.

Top epey tuhaf gözüken parçalar halinde kesiliyor ve paradoks yalnızca soyut ve matematiksel düzlemde işliyor: Elmanızı parçalayıp birleştirerek arkadaşınıza verebileceğiniz bir tane daha elmaya kavuşmanız pek hoş olurdu, fakat maddeden yapılmış fiziksel toplar matematiksel bir küre gibi parçalara ayrılamaz.

100 gram patatesin %99’u sudur. Kurutulduğunda %98 su ihtiva eder, oysa ağırlığı yalnızca 50 gram olur.

 Matematik, eski tarz sonlu niceliklerle uğraşırken bile insanı tuhaf sonuçlara götürüyor.

Patates paradoksunun anahtarı, patatesin su dışındaki içeriğinin matematiğine yakından bakmak. Patatesin %99’u su olduğuna göre kuru içerikler kütlenin %1’ini oluşturuyor demektir. Patates başta 100 gram, yani içinde 1 gram kuru malzeme var. Kurutulmuş patatesin %98’i su ise, 1 gramlık kuru malzemenin patatesin yeni ağırlığının %2’sine karşılık geliyor olması gerekir. Bir gram, 50 gramın %2’si olduğuna göre patatesin yeni ağırlığı da öyle olmalıdır.

Bir odada sadece 23 kişi varsa, içlerinden en az ikisinin aynı gün doğmuş olma olasılığı %50’den fazladır.

Şaşırtıcı matematik sonuçlarından olan Yaş Günü Paradoksu dikkatli bir olasılık analizinden geliyor. Bir odada iki kişi varsa, yaş günlerinin aynı olmama olasılığı 364/365’tür (artık yıl olasılığını göz ardı eder ve tüm yaş günü tarihlerinin aynı derecede olası olduğunu varsayarsak); zira birinci kişinin yaş gününden farklı 364 gün vardır ve ikinci kişinin yaş günü de bunlardan biri olabilir.

Şayet odada üç kişi varsa, yaş günlerinin farklı olması olasılığı 364/365 x 363/365’tir: Yukarıda olduğu gibi, ilkinin yaş gününü bilirsek ikinci kişinin yaş günü için 364 seçenek kalır ve diğer ikisinden farklı üçüncü yaş günü için de 363 seçenek olur.

Bu şekilde devam ederek 23 kişiye ulaştığınızda hepsinin yaş gününün farklı olması olasılığı %50’nin altına düşer ve böylece en az ikisinin aynı gün doğmuş olma olasılığı %50’den fazla olur.

Çoğu insanın arkadaşları onlardan daha fazla arkadaşa sahiptir.

Olanaksızmış gibi gözüküyor, fakat matematiksel açıdan bakıldığında doğru çıkıyor.

Arkadaşlık Paradoksu sosyal ağlarda çoğu kişinin az, az kişinin ise çok arkadaş sahibi oluşundan doğuyor. İkinci gruptaki sosyal kelebekler, orantısız bir dağılımla, daha az arkadaşları olanlarla arkadaşlar. Arkadaşların arkadaşları ortalaması da bu doğrultuda şekilleniyor.

Zaman makinesi icat etmeye çalışan bir fizikçiyi kendisinin yaşlı versiyonu ziyaret ediyor. Yaşlı olan genç olana bir zaman makinesinin planlarını veriyor, genç olan da o planları kullanarak zaman makinesi yapıyor ve nihayetinde kendisinin daha yaşlı bir versiyonu olarak zamanda geri gidiyor.  

 Zamanda yolculuk mümkün olsa, fevkalade tuhaf durumlar doğuracaktır.

Yazgı Paradoksu, klasik Dede Paradoksunun tersi: Zamanda geri gidip, kendisinin zamanda geri gitmesini önlemek yerine burada, bir bilgi veya nesne zamanda geri giderek kendisinin “önceki” bir hali oluyor ve zamanda geri gitmesini sağlıyor. O halde şöyle sormalı: O bilgi veya nesne başta nasıl meydana geldi?

Yazgı Paradoksu bilim kurguda yaygın. Adı da Robert Heinlein’ın bir öyküsünden geliyor.

Dünyanın fevkalade benzersiz bir yanı yoksa, galaksimizde pek çok yabancı uygarlık olsa gerek.  Oysa evrende başka akıllı yaşam bulunduğuna dair kanıta rastlamadık.

Son olarak da, bazıları evrenimizin sessizliğini bir paradoks olarak görüyor.

Astronominin temel varsayımlarından birine göre, Dünya hayli sıradan bir galaksideki hayli sıradan bir güneş sisteminde yer alan hayli sıradan bir gezegen ve kozmik açıdan benzersiz bir yanımız yok. NASA’nın Kepler uydusunun bulgularına göre galaksimizde muhtemelen 11 milyar Dünya benzeri gezegen bulunuyor. Buna göre, bizden (en azından kozmik ölçekte) aşırı uzakta olmayan bir yerlerde bize bir şekilde benzer bir yaşam oluşmuş olmalıydı.

Oysa gitgide güçlenen teleskoplarımıza rağmen, evrenin herhangi bir yerinde teknolojik bir uygarlık bulunduğuna dair kanıta ulaşamadık. Uygarlıklar gürültülüdür: İnsanlık, suniliği belirgin TV ve radyo sinyalleri yayıyor. Bizim gibi bir uygarlık da bulabileceğimiz kanıtlar bırakmış olmalıydı.

Üstelik milyonlarca yıl önce (kozmik açıdan hayli yakın bir dönemde) evrilmiş bir uygarlığın en azından galaksiyi kolonileştirmeye başlamak için epey vakti bulunurdu; dolayısıyla varlıklarına dair daha da fazla kanıt mevcut olmalıydı. Yeterince vakit olduğu da düşünülürse, kolonileştiren bir uygarlık, milyonlarca yıllık süre zarfında tüm galaksiyi koloni haline getirmiş olabilirdi esasen.

Bu paradoksa adını veren fizikçi Enrico Fermi, meslektaşlarıyla bir öğle sohbetinde “Neredeler?” diye sormuştu sadece. Paradoksun bir çözümlemesi, yukarıda belirtilen ve Dünya’nın sıradan olduğu yönündeki fikri zorluyor ve onun yerine, karmaşık yaşamın evrende aşırı nadir olduğunu öne sürüyor. Bir yaklaşıma göre de teknolojik uygarlıklar nükleer savaş veya ekolojik felaket yoluyla kendilerini yok ediyorlar er geç.

Daha iyimser bir çözüm, uzaylıların biz sosyal ve teknolojik açıdan daha olgun bir hale gelene dek kasten gizleniyor olması. Bir diğer fikir ise uzaylıların teknolojisinin bizim tanıyamayacağımız denli gelişmiş olması.

Gus Lubin ile Andy Kiersz’in 2 Ocak 2018 tarihinde Business Insider’da yayımlanmış yazısından derlenmiştir

Yazının orijinal linki: http://www.independent.co.uk/news/science/paradoxes-riddles-difficult-work-out-challenging-mind-exercises-brain-philosophy-a8137961.html

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.